Large deviations for heat kernel measures on loop spaces via rough paths

\begin{matrix}稲浜譲・河備浩司^{∗} （大阪大学大学院基礎工学研究科） \\ 東京確率論セミナー（於：東京工業大学） \end{matrix}

2005 年 2 月 7 日

確率微分方程式（SDE）の解を Brown 運動 w の汎関数（伊藤写像） F (w) と見る立場において、 F が道の位相 (一様収束位相、 Hölder norm による位相）で一般には連続とはならないために、解析を行なう際に特別な工夫が必要となってくる。例えば Wentzell-Freidlin 理論で、 SDE

X_{t}^{ε} = x + ∫_{0}^{t} b(X_{s}^{ε})ds + ε ∫_{0}^{t} σ(X_{s}^{ε})dw_{s}, x ∈ R^{d}, ε > 0

の解 (X_{t}^{ε})_{0≤t≤1} が C([0, 1], R^{d}) において rate function

I(f) = inf \{\frac{1}{2} ∫_{0}^{1} |ġ(t)|^{2}dt | g ∈ H_{0}^{1}([0, 1], R^{d}), f(t) = x+∫_{0}^{t} b(f(s))ds+∫_{0}^{t} σ(f(s))ġ(s)ds\}

を持つ大偏差原理（LDP）に従う事が分かるが、証明において Brown 運動に対する Schilder 型 LDP と contraction principle を合わせた簡明な方法が適用できず、若干の工夫が必要となる。これは SDE の解に先の意味での連続性がないことから生じる問題である。

ところが近年、 Terry Lyons の提唱する rough path 理論 [10], [11] により

「伊藤写像（SDE の解）は、 Brown 運動だけの汎関数と見た時は一般に連続でないが、 (Brown 運動、 Levy area) のペアの汎関数と解釈すると、いつでも連続になる！」

という事が判明し、その応用として Ledoux-Qian-Zhang [8] は Brownian rough path に対する Schilder 型 LDP を示し、上記のアプローチを用いる事により Wentzell-Freidlin 理論を見通しの良いものとした。

本講演では loop 空間 L_{0}(M) に値をとる heat process が、 Banach 空間に値をとる rough path 理論にうまくのり、その副産物としてこの process に対する Wentzell-Freidlin 理論と heat kernel measure なる L_{0}(M) 上の自然な測度に対する LDP が得られる事を報告したい。なお M が Lie 群の場合にはこのような結果は Fang-Zhang [2] によって得られているので、我々の結果^{1}は [2] の拡張とも解釈できる。

∗JSPS Post-Doctral Research Fellowship. e-mail: kawabi@sigmath.es.osaka-u.ac.jp

1M が多様体の場合でも Léandre [6] により同様な結果 (?) が紹介されているが、証明は述べられていない。

1 Framework and Main Result

M を compact で smooth な Riemann 多様体とする。 Nash の定理により、 M を（十分に次元の高い） Euclid 空間 R^{r} に等長埋め込みする事が出来る。 M の基点を 0 ∈ R^{r} として、 loop 空間を L_{0}(R^{r}) := {x ∈ C([0, 1], R^{r})| x(0) = x(1) = 0} とする。以下では x(τ) = (x^{1}(τ), …, x^{r}(τ)) と成分表示することもある。

|h|_{H_{0}^{s}}^{2} := ∑_{n≠0} |2πn|^{2s}|ĥ(n)|^{2}, h ∈ L^{2}((0, 1) → R^{r})

と置き、 Hilbert 空間 H_{0}^{s}(R^{r}) := {h ∈ L^{2}((0, 1) → R^{r}) | |h|_{H_{0}^{s}} < ∞} を導入する。ただし ĥ(n) := ∫_{0}^{1} h(τ)e^{−2π\sqrt{−1}nτ}dτ, n ∈ Z である。 h ∈ H_{0}^{s}(R^{r}) は Fourier 級数展開

h(τ) = ∑_{n≠0} ĥ(n)(e^{2π\sqrt{−1}nτ} − 1),

を持つ事に注意しておこう。なお Sobolev の定理により、 s > 1/2 では H_{0}^{s}(R^{r}) は L_{0}(R^{r}) の部分空間となる。また (L_{0}(R^{r}), H_{0}^{s}(R^{r}), μ^{s}) が抽象 Wiener 空間となるような Gauss 測度 μ^{s} を考える。以下では簡単のため、 B := L_{0}(R^{r}), H := H_{0}^{s}(R^{r}) と記すこともある。 s = 1 の場合は μ^{1} が標準的な r 次元 pinned Wiener 測度になる事に注意しておきたい。

(w_{t})_{t≥0} を完備確率空間 (Ω, F, ℙ) 上の (μ^{s} に対応する） B 値-Brown 運動とする。また τ ∈ [0, 1] と j = 1, 2, …, r に対して δ_{τ}^{j} ∈ B^{∗} を_{B^{∗}}⟨δ_{τ}^{j}, x⟩_{B} := x^{j}(τ) で定義し、 w_{t}^{j}(τ) := B^{∗}⟨δ_{τ}^{j}, w_{t}⟩_{B} とする。これは quadratic variation が t|δ_{τ}^{j}|_{H}^{2} となる 1 次元 Brown 運動である。また w_{t}(τ) := (w_{t}^{1}(τ), …, w_{t}^{r}(τ)) と記す。

{e_{j}}_{j=1}^{r} を R^{r} の正規直交基底とする。各 x ∈ M に対し、 P_{x} : R^{r} → T_{x}M を直交射影とし、

A_{j}(x) := P_{x}e_{j} = ∑_{i=1}^{r} a_{ij}(x)(\frac{∂}{∂x_{i}} )_{x}

と置く。（言うまでもなく e_{j} と (\frac{∂}{∂x_{j}})_{x} を同一視している。） M の外部では適当に定義する事により、 {A_{j}}_{j=1}^{r} は R^{r} 上のベクトル場で a_{ij} ∈ C_{b}^{∞}(R^{r}, R), 1 ≤ i, j ≤ r を満たすものと解釈できる。 Malliavin [12] に従い、 ε > 0 と τ ∈ [0, 1] を固定したごとの R^{r} 上の SDE ^{2}

dX_{t}^{ε}(τ) = ∑_{j=1}^{r} A_{j}(X_{t}^{ε}(τ)) ∘ εdw_{t}^{j}(τ),  X_{0}^{ε}(τ) = 0.  (1.1)

を考えよう。 (1.1) の解を X^{ε}(t, τ) := X_{t}^{ε}(τ) と記すことにするが、 two-parameter process として連続修正を持つ事が知られている。^{3}

2本講演では簡略化のためにドリフト項をつけない。詳細は Inahama-Kawabi [5] を参照してください。

3Lemma 3.4 にて rough path 理論を用いた別証明を与える事ができる。

また初期値 0 は最初に述べたように M の基点としておいたので、 (X^{ε}(t, ·))_{t≥0} は loop 空間 L_{0}(M) := {x ∈ L_{0}(R^{r})| x(τ) ∈ M, 0 ≤ τ ≤ 1} 上の連続確率過程である。また (X^{ε}(t, ·))_{t≥0} と (X^{1}(ε^{2}t, ·))_{t≥0} の分布が一致している事に注意をしておきたい。

(X^{1}(t, ·))_{t≥0} は loop 空間 L_{0}(M) 上の Laplacian Δ_{s}/2 を生成作用素として持つ事が知られている。（詳細は Fang-Zhang [2]、 Inahama [4] を参照。）すなわち、この process は「L_{0}(M) 上の Brown 運動」とみなす事ができる。よって (X^{ε}(t, ·))_{t≥0} を「heat process」、 X^{1}(t, ·) の分布を「heat kernel measure」と呼ぶ事に納得がいくであろう。

Heat kernel measure の正確な定義と主定理を述べる前にいくつかの notation を用意しておく。

• P (B) := {x ∈ C([0, 1] → B)| x_{0} = 0}, ∥x∥_{P (B)} := sup{|w_{t}|_{B} : 0 ≤ t ≤ 1}.

• L_{0}^{2,1}(H) := {h ∈ P (B)| ḣ ∈ L^{2}((0, 1) → H)}, ∥h∥_{L_{0}^{2,1}(H)}^{2} := ∫_{0}^{1} |ḣ_{t}|_{H}^{2}dt.

また F (x) は x ∈ L_{0}^{2,1}(H) から作られた smooth rough path であり、 ϕ は Brownian rough path に対して SDE (1.1) の解を対応させる「伊藤写像」である。正確な定義は次章で述べる。 Definition 1.1 (Heat kernel measure) Let r ∈ N, s > 1/2, ε > 0 and vector fields {A_{j}}_{j=1}^{r} be as above.

(i) We denote by V_{ε} the law of the heat process (X^{ε}(t, ·))_{t≥0}. This measure is a probability measure on P (B). (ii) We define the heat kernel measure ν_{t} to be the law of X^{1}(t, ·). This measure ν_{t} is supported in L_{0}(M).

Theorem 1.2 (i) Let V_{ε} be the law of the heat process X^{ε} as in Definition 1.1. Then, V_{ε} satisfies the large deviation principle as ε ↘ 0 with the good rate function I_{1}, where

I_{1}(ξ) = \begin{cases}\frac{1}{2} inf\{∥x∥_{L_{0}^{2,1}(H)}^{2}| ϕ(F (x))_{0,·}^{1} = ξ_{·}\} & if ξ_{·} = ϕ(F (x))_{0, ·}^{1} for some x ∈ L_{0}^{2,1}(H), \\ ∞, & otherwise. \end{cases}

More precisely, for any measurable set K ⊂ P (B), the following inequalities hold:

− inf_{ξ∈K^{∘}} I_{1}(ξ) ≤ lim inf_{ε↘0} ε^{2} log V_{ε}(K) ≤ lim sup_{ε↘0} ε^{2} log V_{ε}(K) ≤ − inf_{ξ∈\overline{K}} I_{1}(ξ).

(ii) Let ν_{t} be the heat kernel measure as in Definition 1.1. Then, ν_{t} satisfies the large deviation principle as t ↘ 0 with the good rate function I_{2}, where

I_{2}(y) = \begin{cases}\frac{1}{2} inf\{∥x∥_{L_{0}^{2,1}(H)}^{2}| ϕ(F (x))_{0,1}^{1} = y\} & if y = ϕ(F (x))_{0,1}^{1} for some x ∈ L_{0}^{2,1}(H), \\ ∞, & otherwise. \end{cases}

More precisely, for any measurable set K ⊂ L_{0}(M) ⊂ B, the following inequalities hold:

− inf_{y∈K^{∘}} I_{2}(y) ≤ lim inf_{t↘0} t log ν_{t}(K) ≤ lim sup_{t↘0} t log ν_{t}(K) ≤ − inf_{y∈\overline{K}} I_{2}(y).

2 A simple review of the rough path theory

2.1 General theory

ここでは rough path 理論に関する基本事項を整理しておく。

[1] (B, H, μ) を抽象 Wiener 空間、 B ⊗_{a} B を代数的テンソル積とする。ここで x ⊗ y ∈ B ⊗_{a} B は、

x ⊗ y(z) := _{B}⟨x, z⟩_{B^{∗}}y, z ∈ B^{∗}

で定義されたものである。よって B ⊗_{a} B は L(B^{∗}, B) の部分空間とも解釈できる。

|x ⊗ y| ≤ |x|_{B} · |y|_{B}, x, y ∈ B を満たす B ⊗_{a} B 上の norm | · | を考える。 B ⊗ B をこの norm に関した B ⊗_{a} B の完備化とする。例として以下の norm が挙げられよう。

|v|_{∨} := inf{∑_{k=1}^{n} |a_{k}|_{B}|b_{k}|_{B} : if v = ∑_{k=1}^{n} a_{k} ⊗ b_{k} ∈ B ⊗_{a} B}, (projective tensor norm),
|v|_{∧} := sup{| ∑_{k=1}^{n}⟨a_{k}, a^{∗}⟩⟨b_{k}, b^{∗}⟩| a^{∗}, b^{∗} ∈ B^{∗}, |a^{∗}|_{B}, |b^{∗}|_{B} ≤ 1,
if v = ∑_{k=1}^{n} a_{k} ⊗ b_{k} ∈ B ⊗_{a} B}, (injective tensor norm),

[2] p を path の roughness とする。本講演では Brownian rough path の場合を考えるので 2 < p < 3 とする。よって [p] = 2 である事に注意しておく。 T^{(2)}(B) := R⊕B ⊕(B ⊗B) とする。これは普通の和、スカラー積、そして以下の積

(a_{0}, a_{1}, a_{2}) ⊗ (b_{0}, b_{1}, b_{2}) = (a_{0}b_{0}, a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0}, a_{2}b_{0} + a_{0}b_{2} + a_{1} ⊗ b_{1})

で非可換代数（B 上のtruncated tensor algebra)になる。 T^{(2)}(B)には直積位相を導入しておく。またsimplexをΔ := {(s, t)| 0 ≤ s ≤ t ≤ 1}と記し、 D = {0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{N} = 1} を [0, 1] の（有限）分割とする。

[3] 連続写像 Y = (1, Y^{1}, Y^{2}) : Δ → T^{(2)}(B) が

Y_{s,t} = Y_{s,u} ⊗ Y_{u,t},  0 ≤ s ≤ u ≤ t ≤ 1. (multiplicativity)  (2.1)

と

∥Y^{j}∥_{p/j} := (sup_{D} ∑_{l} |Y_{t_{l−1},t_{l}}^{j}|^{p/j})^{j/p} < ∞,  j = 1, 2.  (2.2)

を満たす時、 Y を roughness p の rough path と言い、全体を Ω_{p}(B) と記す。 2 つの rough path X, Y に対して p-variation metric を以下で定義する。

d_{p}(X, Y) := max_{j=1,2} (∥X^{1} − Y^{1}∥_{p}, ∥X^{2} − Y^{2}∥_{p/2}).

すると (Ω_{p}(B), d_{p}) は（可分でない）距離空間になる。

y = (y_{t})_{0≤t≤1} を B-値連続写像で全変動が有限なものとする。すると以下で定義されたものは rough path となる。

Y_{s,t}^{1} := y_{t} − y_{s}, Y_{s,t}^{2} := ∫_{s}^{t}(y_{u} − y_{s}) ⊗ dy_{u}, 0 ≤ s ≤ t ≤ 1.  (2.3)

このように構成されたものを smooth rough path と言い、 Y = F (y) と書く。 smooth rough path 全体を SΩ_{p}(B) と記す。

また smooth rough path 列の d_{p} での極限として得られるものを geometric rough path と言い、全体を GΩ_{p}(B) と記す。 (GΩ_{p}(B), d_{p}) は可分になる。

[4] 次に X ∈ GΩ_{p}(B) に沿った積分 ∫ f(x_{u})dX_{u} を定義しよう。^{4}ただし x_{t} := x_{0} + X_{0,t}^{1}, t ≥ 0, x_{0} ∈ B である。また本講演では簡単のために\underline{f : B → L(B, B) を Fréchet の} \underline{意味で滑らかでかつ D^{k}f が全ての k ∈ Z_{+} に対して有界である}とする。^{5}

この時 ∫ f(x_{u})dX_{u} ∈ GΩ_{p}(B) を

( ∫ f(x_{u})dX_{u})_{s,t}^{1} := lim_{m(D)→0} ∑_{i=0}^{N−1} {f(x_{t_{i}})(X_{t_{i},t_{i+1}}^{1}) + Df(x_{t_{i}})(X_{t_{i},t_{i+1}}^{2})}, (2.4)
( ∫ f(X_{u})dX_{u})_{s,t}^{2} := lim_{m(D)→0} ∑_{i=0}^{N−1} {(f(x_{t_{i}}) ⊗ f(x_{t_{i}}))(X_{t_{i},t_{i+1}}^{2})
+( ∫ f(x_{u})dX_{u})_{s,t_{i}}^{1} ⊗ ( ∫ f(x_{u})dX_{u})_{t_{i},t_{i+1}}^{1}} (2.5)

で定義する。ただし 0 ≤ s < t ≤ 1 と [0, 1] の有限分割 D に対して、 D̄ := D ∪ {s, t}, D̄ ∩ [s, t] := {s = t_{0} < t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{N} = t} とした。

なお X ∈ SΩ_{p}(B) の場合は

( ∫ f(x_{u})dX_{u})_{s,t}^{1} = ∫_{s}^{t} f(x_{u})dx_{u},  (2.6)
( ∫ f(X_{u})dX_{u})_{s,t}^{2} = ∫ ∫_{s≤v≤u≤t} f(x_{v})dx_{v} ⊗ f(x_{u})dx_{u}  (2.7)

と簡潔な表現を得る。ただし (2.6)、 (2.7) の右辺は Riemann-Stieltjes 積分として定義されたものである。

[5] 上記の積分を用いて、 (rough path の意味での） ODE

dY_{t} = f(Y_{t})dX_{t},  Y_{0} = y_{0}.  (2.8)

4実際は X ∈ Ω_{p}(B) の場合でも積分は定義できる。

5[11] では f 自身の有界性がなくても、 3 階までの Fréchet 微分が有界ならば連続性定理 2.1 が成り立つと言っているが、高信 [13] で不備が指摘されている。本講演では安全のためにこの範疇で議論する。

の正確な定義を与えよう。ここでは（混乱を避けるため） X に対応する Banach 空間を B_{1}、 Y に対応する Banach 空間を B_{2} と記す。

X ∈ GΩ_{p}(B_{1}), y_{0} ∈ B_{2} に対して Y ∈ GΩ_{p}(B_{2}) が以下を満たすとき (2.8) の解であると言う：ある Z ∈ GΩ_{p}(B_{1} ⊕ B_{2}) が存在して、

Z = ∫ f̂(Z_{0,u}^{1} + (0, y_{0}))dZ_{u}, Π_{B_{1}⊕B_{2}→B_{1}}(Z) = X, Π_{B_{1}⊕B_{2}→B_{2}}(Z) = Y  (2.9)

を満たす。ここで f̂: B_{1} ⊕ B_{2} → L(B_{1} ⊕ B_{2}, B_{1} ⊕ B_{2}) は

f̂(x, y)(u, v) := (v, f(y + y_{0})v), (x, y), (v, w) ∈ B_{1} ⊕ B_{2}

で定義されたものであり、 Π_{B_{1}⊕B_{2}→B_{i}}, i = 1, 2 は projection である。以下の定理が rough path 理論の根幹をなす。 [11] の 6 章、または [13] の 7 章を参照。

Theorem 2.1 (Lyons’ continuity theorem ) For any y_{0} ∈ B_{2} and X ∈ GΩ_{p}(B_{1}), the equation (2.8) has the unique solution Z(y_{0}, X) = (X, Y (y_{0}, X)). Moreover, the map

B_{2} × GΩ_{p}(B_{1}) ∋ (y_{0}, X) ⟼ Z(y_{0}, X) ∈ GΩ_{p}(B_{1} ⊕ B_{2})

is continuous. Hence for each y_{0} ∈ B_{2}, the map

GΩ_{p}(B_{1}) ∋ X ⟼ Y (y_{0}, X) ∈ GΩ_{p}(B_{2})

is also continuous.

2.2 Brownian rough path on Banach spaces

ここから Brownian rough path について考える。 (w_{t})_{0≤t≤1} を w_{0} = 0 なる B-値 Brown 運動とする。 t_{l}^{m} := l/2^{m} と置き、 m-th dyadic polygonal approximation を

w(m)_{t} = w_{t_{l−1}^{m}} + 2^{m}(t − t_{l−1}^{m})(w_{t_{l}^{m}} − w_{t_{l−1}^{m}}), t_{t_{l−1}^{m}} ≤ t ≤ t_{t_{l}^{m}}.

と定義する。すると w(m) が全変動有限であるので、対応する smooth rough path W (m) = (1, W (m)^{1}, W (m)^{2}) = F (w(m)) を手順 (2.3) で構成することができる。

では m → ∞ とした時に、その極限はどのようなものになるのであろうか？ B が有限次元の場合では、 second level path が Lévy area process

W_{s,t}^{2} = ∫ ∫_{s<t_{1}<t_{2}<t} ∘dw_{t_{1}} ∘ dw_{t_{2}}, 0 ≤ s < t ≤ 1

になる事が知られている ([11], Theorem 4.4.3 参照)。それに対して

• 無限次元の設定ではどのような条件の下に W (m) の極限が存在するのか？がまず問題になってくる。この基本的な問題は Ledoux-Lyons-Qian [7] の中で、「テンソル積の exactness」という条件 (A) Exactness of B ⊗ B with respect to μ: There exist constants C > 0 and α ∈ [1/2, 1) such that, for any N and for any sequence {G_{l}, G̃_{l}}_{l=1}^{N} of independent, B-valued random variables with common distribution μ, the following inequality holds:

𝔼[|∑_{l=1}^{N} G_{l} ⊗ G̃_{l}|_{B⊗B}] ≤ CN^{α}  (2.10)

の下で論じられた。ちなみに有限次元の場合は α = 1/2 でこの条件が成り立つ事が簡単な計算で分かる。

Theorem 2.2 (Theorem 3 in [7]) Under the condition (A), the dyadic approximations W (m) = (1, W (m)^{1}, W (m)^{2}) converge to a geometric rough path W = (1, W^{1}, W^{2}) such that d_{p}(W (m), W) → 0 almost surely as m → ∞ for any 2 < p < 3. Moreover W_{s,t}^{1} = w_{t} − w_{s} for any s < t.

以下では second level path W^{2} を（有限次元の時と同様に） Lévy area process と呼ぶことにする。

3 Outline of the proof

\underline{Step 1.} 我々の framework に rough path 理論が適用可能であることを見る。そのためには、定理 2.2 よりテンソル積が exact であることを示せばよいが、以下の事実が知られているので結局は (3.1) を示せば十分である。

Proposition 3.1 (Theorem 4.6.8 in [11]) Let μ be the law of a R^{r}-valued centered Gaussian process which satisfies the Hölder condition

𝔼^{μ}[|x_{t} − x_{s}|_{R^{r}}^{p}] ≤ C_{p,r}|t − s|^{hp},  (3.1)

for some p > 0 and h ≤ 1/2 such that hp > 1. Then any Banach tensor product B ⊗ B is exact with respect to the Gaussian measure μ.

\underline{Step 2.} [8] を参考にして Brownian rough path に対する以下の Schilder 型 LDP を得る。

Theorem 3.2 Let the notation be as above. Then the large deviation principle for the Brownian rough path F (εw) = (1, εW^{1}, ε^{2}W^{2}), ε > 0, on GΩ_{p}(B), 2 < p < 3, holds with the following good rate function; For X ∈ GΩ_{p}(B),

I(X) = \begin{cases}\frac{1}{2}∥x∥_{L_{0}^{2,1}(H)}^{2}, & if X = F (x) for some x ∈ L_{0}^{2,1}(H), \\ ∞, & otherwise. \end{cases}

More precisely, for any measurable set K ⊂ GΩ_{p}(B), the following inequalities hold:

− inf_{X∈K^{∘}} I(X) ≤ lim inf_{ε↘0} ε^{2} log ℙ(F (εw) ∈ K)
≤ lim sup_{ε↘0} ε^{2} log ℙ(F (εw) ∈ K) ≤ − inf_{X∈\overline{K}} I(X).

これの証明の核になるのは Brown 運動の Schilder 型 LDP である：すなわち (εw_{t})_{0≤t≤1} の法則 μ_{ε} に対して

− inf_{w∈K^{∘}} I_{0}(w) ≤ lim inf_{ε↘0} ε^{2} log μ_{ε}(K)
≤ lim sup_{ε↘0} ε^{2} log μ_{ε}(K) ≤ − inf_{w∈\overline{K}} I_{0}(w), K ⊂ P (B)

が成り立つというものである。ただし rate function I_{0} : P (B) → [0, ∞] は I_{0}(w) := \frac{1}{2}∥w∥_{L_{0}^{2,1}(H)}^{2} で与えられる。

これを geometric rough path の空間 GΩ_{p}(B) に持ち上げればよいのだが、埋め込み写像 W = F (w) は当然、連続写像ではない。しかし W (m) = F (w(m)) は連続なので、 W (m) が W の exponentially good approximation である事さえ分かれば LDP の標準的な技法

Proposition 3.3 (Lemma 2.1.4 in [1]) Let I be a good rate function on a separable metric space X, f a measurable map from X into a second separable metric space (Y, d). Assume that there exists a sequence {f_{m}}_{m=1}^{∞} ⊂ C(X , Y) such that for each 0 < β < ∞,

lim_{m→∞} sup {d(f_{m}(x), f(x))| x ∈ X with I(x) ≤ β} = 0.

Then the map I′ : Y → [0, ∞] given by

I′(y) = inf{I(x)| x ∈ X and y = f(x)}, y ∈ Y,

is a good rate function Moreover, if, in addition, {μ_{ε}}_{ε>0} has the property that

lim_{m→∞} lim sup_{ε→0} ε^{2} log μ_{ε}({x ∈ X | d(f_{m}(x), f(x)) > δ}) = −∞

for each 0 < δ < ∞, then I′ governs the large deviation principle of {μ_{ε}∘f^{−1}}_{ε>0} whenever I governs the large deviation principle of {μ_{ε}}_{ε>0}.

を X = P (B), Y = GΩ_{p}(B), f_{m}(x) = F (x(m)), f(x) = F (x) として適用すればよい。よって結局は δ > 0 に対して

lim_{m→∞} lim sup_{ε→0} ε^{2} log ℙ(d_{p}(F (εw(m)), F (εw)) > δ) = −∞  (3.2)

と β > 0 に対して

lim_{m→∞} sup {d_{p}(F (x(m)), F (x)) | ∫_{0}^{1} |ẋ_{t}|_{H}^{2}dt ≤ β} = 0.  (3.3)

を示せば定理 3.2 の証明は完結する。 \underline{Step 3.} g : B → L(B, B) を

(g(y)x)(τ) := A(y(τ))x(τ), x, y ∈ B, τ ∈ [0, 1].

で定義し、 rough path の意味での ODE

dY_{t} = g(Y_{t})dX_{t},  Y_{0} = 0.  (3.4)

を考えよう。ただし A(·) ∈ C_{b}^{∞}(R^{r}, R^{r} ⊗ R^{r}) は A := (a_{ij})_{1≤i,j≤r} で定義されたものである。すると g は Fréchet の意味で滑らかであり、|D^{k}g|_{L^{k+1}(B,B)} が全ての k ∈ Z_{+} に対して有界である. よって定理 2.1 より X ∈ GΩ_{p}(B) に対して (3.4) の解が一意的に存在するので、伊藤写像 ϕ : GΩ_{p}(B) → GΩ_{p}(B) を ϕ(X) := Y で定義する事ができ、さらに連続となる事が分かる。

また X = εW (m) を入力した rough path の意味での ODE (3.4) の解の first level path は、 (ℙ-a.s の Brown 運動の path ごとの） ODE

z_{t}^{ε,m}(τ) = ∑_{j=1}^{r} ∫_{0}^{t} A_{j}(z_{u}^{ε,m}(τ)) · ε\frac{d}{du}w(m)_{u}^{j}(τ)du, 0 ≤ t ≤ 1  (3.5)

の解の path (z_{t}^{ε,m})_{0≤t≤1} と ℙ-a.s で一致することは容易に分かる ( [11] の Proposition 6.2.2 を参照 ) ので、 Wong-Zakai の近似定理 ( Ikeda-Watanabe [3] の Theorem VI-7.2 ) と先の連続性定理を合わせると

Lemma 3.4 Let W be the Brownian rough path in GΩ_{p}(B). Then, Y^{(ε)} := ϕ(εW) is a random element in GΩ_{p}(B) and (t, τ) ⟼ Y_{0,t}^{(ε),1}(τ) is a bi-continuous modification of the two-parameter process (X^{ε}(t, τ))_{0≤t,τ≤1} defined in the SDE (1.1).

である事が分かる。よって定理 3.2 と contraction principle を連続写像 ϕ に適用すれば主定理 1.2 の証明が終わる。

Remark 3.5 [12] では X^{ε}(t, τ) が two-parameter process として連続である事を出すために、 Kolmogorov-Totoki’s criterion を用いている。そのため初期 loop X_{0}^{ε}(·) に Hölder 連続性を課している（本講演では簡単のために X_{0}^{ε}(·) = 0 としてあった）。しかし、我々の補題 3.4 に初期 loop の Hölder 連続性の仮定は不必要である。

参考文献

[1] J. D. Deuschel and D. W. Stroock: Large Deviations, Academic Press, Boston, 1989.

[2] S. Fang and T.-S. Zhang: Large deviations for the Brownian motion on loop groups, J. Theoret. Probab. 14 (2001), pp. 463-483.

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[13] S. Takanobu (高信敏): Rough path analysis 入門–基本的部分の詳解， 2004 年度確率論サマースクール予稿.

(http://www.math.kyoto-u.ac.jp/probability/sympo/PSS04RoughPath2.pdf)