$\mathbb{R}^3$の極小曲面

Weierstrassの表現公式

$M$をRiemann面, $(g,\eta)$を$M$上の有理型関数と正則1次微分の組で, \[ \big(1+|g|^2\big)^2\eta\overline{\eta} \] が$M$上のRiemann計量を定めるものとする. このとき \[ f(p)=\mathrm{Re}\int_{p_0}^p\big(1-g^2,\,i(1+g^2),\,2g\big)\eta \] は$M$から$\mathbb{R}^3$への共形極小はめ込みを与える. ただし$p_0$は$M$上の定点である. $f$の定義に線積分を用いているので, $f$は一般に$M$上多価である.

例

• Enneper surface.
• Catenoid.
• Helicoid (singly periodic).
• Scherk's first surface (doubly periodic).
• Scherk's second surface (associate surface of catenoid).
• Scherk's third surface (branched).
• Scherk's fourth surface (branched, singly periodic).
• Scherk's fifth surface (singly periodic).
• Jorge-Meeks $n$-noid.
• Moebius strip by Meeks and Oliveira.
• Another Moebius strip (cf. Meeks-Weber).
• Costa-Hoffman-Meeks surface of genus $k$.
• Double Enneper of genus $k$.
• Fujimori-Shoda of genus $k$.
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謝辞

このサイトを作成するにあたり, Matthias Weber氏のMinimal Surface MuseumやMinimal Surface Repositoryを参考にしました. また, 極小曲面の描画に関してはWeber氏以外にもPeter Connor氏, 小林真平氏, Wayne Rossman氏, Seong-Deog Yang氏から有益なご意見をいただきました. ここに記して感謝の意を表します.

Links

• Minimal Surface Repository (Matthias Weber氏)
• Gallery of Minimal Surfaces (Sisto Baldo氏)
• 旧極小曲面ギャラリー