Lagrangian minimal surfaces in S^{2} × S^{2}

水津薫 (島根大学大学院総合理工学研究科Ｄ２)

S^{2} を R^{3} からの誘導計量を持つ Riemann 球面とし、 J を複素構造とする。この直積 S^{2} × S^{2} は複素構造 (J, J) により複素 2 次元の Kähler 多様体となる。 S^{2} × S^{2} 内の Lagrangian surface について、次の例がある： (i) S^{2} 内の２つの曲線 γ_{1}, γ_{2} を product immersion で埋め込んだもの。この例で特に極小となるのは、 γ_{i} (i = 1, 2) がともに大円であるときに限られる。 (ii) S^{2} を複素射影直線 CP^{1} と同一視し、 CP^{1} の元 z に対して、 z とその複素共役 z̄ のペアを対応させることにより、 S^{2} × S^{2} 内の (全測地的) Lagrangian surface ができる。

S^{2}×S^{2} の Lagrangian surface M^{2} の存在性や合同性を考える上で、 S^{2}× S^{2} 上の概積構造が重要な役割を果たす。向け付けられた 2 次元 Riemann 多様体 M^{2} から S^{2} × S^{2} への Lagrangian immersion x に対し、概積構造に関する角度関数 φ : M^{2} → [−π/4, π/4] を導入する。これは φ ≡ 0 ならば x は product immersion となり（例 (i)）、 φ ≡ ±π/4 ならば x は全測地的となる (例 (ii)) ような関数である。このとき複素構造 (J, −J) に関して M^{2} の Kähler 角度は π/2 − 2φ と表される。

S^{2} × S^{2} の Lagrangian surface の合同定理として、以下を得る。

Theorem 1. 向き付けられた 2 次元連結多様体 M^{2} に対し x^{1}, x^{2} : M^{2} → S^{2} × S^{2} を Lagrangian immersion とし、 σ^{i}(i = 1, 2) をそれぞれ x^{i} の第二基本形式とする。 φ^{i} : M^{2} → (−π/4, π/4) を各 x^{i} の角度関数とし、 M^{2} 上の (0, 3) テンソル場 T^{i} を T^{i}(X, Y, Z) = ⟨σ^{i}(X, Y), (J, J)Z⟩ により定義する。このとき x^{1}(M^{2}) と x^{2}(M^{2}) が isometry g ∈ SO(3) × SO(3) で移り合う為の必要十分条件は、 φ^{1} = φ^{2} and T^{1} = T^{2}。

また、 2 次元 Riemann 多様体から S^{2} × S^{2} への Lagrangian minimal immersion が存在する為の条件として、以下の結果が得られた。

Theorem 2. M^{2} を向け付けられた 2 次元単連結 Riemann 多様体に対し、 M^{2} 上の関数 φ : M^{2} → (−π/4, π/4) が存在して、２つの方程式

K = (sin^{2} 2φ)/2 − 2∥ grad φ∥^{2},
△φ + 2∥ grad φ∥^{2} tan 2φ = − sin 4φ/4

を満たしているとする。このときM^{2} からS^{2}×S^{2} へのLagrangian minimal immersion x が存在し、 φ は x の角度関数となる。