Alternating sign matrix と A 型 Coxeter 群の Bruhat order

難波 正幸 (名古屋大学大学院多元数理科学研究科)

e-mail : m00012h@math.nagoya-u.ac.jp

n 次正方行列 A = (a_{ij}) が n 次Alternating sign matrix(ASM) と呼ばれるのは以下の条件を満たすときにいう．

(1) a_{ij} ∈ {0, 1, − 1}．

(2) 1 ≤ q ≤ n に対して， ∑_{i=1}^{n} a_{iq} = 1．

(3) 1 ≤ p ≤ n に対して， ∑_{j=1}^{n} a_{pj} = 1．

(4) 各列・各行の 0 でない成分は， 1 で始まり， 1 と −1 が交互に現れる．

また，

A_{n} = {n 次 ASM 全体}

とする．例えば， n 次置換行列全体 𝔖_{n} は， n 次 ASM であり，

A_{3} = 𝔖_{3} ∪ \{( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )\}

である．したがって， n 次 ASM は置換行列の拡張と捉えることができる．

Coxeter 群は Weyl 群の拡張概念といえ，次のように定義される：群 W とその生成系 S との組 (W, S) がCoxeter 系と呼ばれるのは， W が次

の生成関係のみで記述できるときにいう．

(a) 任意の s ∈ S に対して， s^{2} = e． (e は W の単位元)

(b) 相異なる S の 2 元 s, s′ に対して， m(s, s′) ∈ ℕ∪{∞} が存在して， (ss′)^{m(s,s′)} = e となる．ただし， ℕ は自然数全体とし， m(s, s′) = ∞ は，積 ss′ が何乗しても単位元とならないことを意味するものとする．

Coxeter 群上の半順序として， Bruhat order と呼ばれるものが，次のように定義される：

w ≤ w′ ⟺^{def} w′ = s_{1} ⋯ s_{r} : reduced expression^{1}に対して， w = s_{i_{1}} ⋯ s_{i_{t}} (1 ≤ i_{1} < ⋯ < i_{t} ≤ r) と書ける．

A 型 Coxeter 群は n 次対称群 (n 次置換行列のなす群) と同型であるが，その Bruhat order は組み合わせ論的に書くことができることが知られている．本講演では，その組合せ論的な記述を紹介し， Bruhat order を半順序とする半順序集合 A 型 Coxeter 群を含むような最小の complete lattice の組合せ論的な記述が n 次 ASM で与えられることを示す．

1すなわち， w′ の S の元の積による表示において最短なもの．